Максимум

Максимум (математич.) – М. называется вообще наибольшая величина из рассматриваемых величин. В математическом анализе этим словом обозначается то значение функции, начиная от которого она как при увеличении независимых переменных, так и при их уменьшении убывает. Максимальное значение функции более всех соседних ее значений, но оно может быть менее других ее максимальных значений; наибольшее из всех максимальных значений называется М. максиморум (maximum maximorum). Рассмотрим функцию одного переменного х. Из определения математического максимума следует, что если с увеличением х функция сначала увеличивается, а затем начинает убывать, то она имеет М. именно в том месте (при том значении переменного х), в котором прибывание ее переходит в убывание. Известно, что первая производная функции положительна, если функция прибывает с увеличением переменного и отрицательна, если функция, с увеличением переменного, убывает. От положительного значения к отрицательному производная должна перейти чрез нуль. Следовательно, при том значениипеременного; которому соответствует М. функции, производная ее должна быть равна нулю. Это дает возможность определять те значения х, при которых функция достигаетМ.; вставив же это значение х в функцию, получим величину максимального значения функции. Необходимо, однако, заметить, что, если при увеличении переменного функциясначала уменьшается, а затем начинает увеличиваться, то производная, переходя от отрицательного к положительному значению, тоже должна перейти чрез нуль, между тем как при этом функция достигает не максимального, а минимального значения (наименьшего сравнительно с соседними). Поэтому надо установить критериум для отличия М.от минимума. Но не трудно видеть, что переходя от положительного значения к отрицательному, что соответствует М., производная уменьшается и, следовательно, производная производной, т. е. вторая производная, отрицательна; при переходе же от отрицательного к положительному значений, что соответствует минимуму, вторая производная, вследствие возрастания первой производной, положительна. Итак, если требуется найти М. функции f(x), то определяют соответствующие значения х из уравненния f' (х) =0. Вставляя эти значения в f(х), получим ее М., если f"(x)<и минимумы, если f"(х)>0.Подобного же рода рассуждениями руководствуются и при нахождении М. и минимумов функций многих переменных. Весьма многие задачи приводятся к нахождению М. и минимумов.

Н. Делоне.

Источник: Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона